2차 미분 방정식 시스템의 예는 수철에 매달린 물체입니다.
용수철에 매달려 평형 위치에서 y만큼 올라가 있는 물체에 +y 방향으로 힘 F를 가합니다.
물체는 +y 방향의 속력 v로 운동하고 있습니다.
fig.12 이때 -y방향으로 용수철이 당기는 힘은 ky이고 공기저항력은 です입니다.
힘에 대해서 운동 방정식을 작성하면 상수는 간단하게 하면 k 부분을 w평방으로 바꾼 이유는 나중에 일반해를 간략하게 하기 위해서입니다.
w는 output의 진동수, w0은 시스템의 진동수입니다.
결론적으로 시스템은 다음과 같이 표현됩니다.
fig.13에서는 input을 다음과 같이 가정합시다.
substitution formula에서 배운 대로의 경우를 나누어 보면(공업수학_13.2-orderODE-substitution formula)이 됩니다.
-D1=DD2=ss(=iw)의 경우 -D1=DD2=s(=iw)의 경우 -D1=D2=s(=iw)의 경우는 없습니다.
(중근 실수 D와 허수 iw) D1 = Ds (= sD1) D1 = ᅳᆯd2 == i의 경우 다음
fig.14 따라서 fig.15 이때 input의 진폭 대비 output의 진폭 비율은 다음과 같으며 gain 함수라고 부릅니다.
직관적으로도 약수철에 매달려 있는 물체의 질량이 작을수록 물체가 더 크게 흔들림을 알 수 있습니다.
phaselag를 지원하는 input과 output의 시간 간격(tiemlag)은 p/ᅵᆸᅵᄃ p 。입니다.
같은 내용을 공업수학_4.complexification에서 1-orderODE에 대해서 분석을 해봤는데 내용이 비슷해요.
fig.15 일반해는 다음과 같습니다.
1, 1, 22 중 하나가 양수일 경우 시간(t)이 흘러 y값 전체가 커집니다.
그러나 둘 다 음수일 경우 자동차 솔루션 부분은 0으로 수렴하고 전체적인 경향성은 특별해를 따릅니다.
따라서 특별 바다는 steady state, 자동차 바다는 시스템이 안정되기 전에 물체가 흔들리는 transient(불안정한 상태)라고 할 수 있습니다.
1, 1, 22가 다른 두 개의 허수라도 이 경향성은 동일합니다.
특성방정식의 해법이 다음과 같은 형태이므로 일반해법은 다음과 같이 구할 수 있습니다.
이 때는 허근의 실수부가 마이너스일 때 시스템이 안정됩니다.
2) D1=D2=ss(=iw)의 경우 일반해법은 다음과 같습니다.
이때도 ᅳᆷ가 음수일 때 시스템이 안정됩니다.
3) D1=DD2=s(=iw)의 경우 특성방정식이 실수부가 0인 서로 다른 두 허근을 가져야 하기 때문에 γ=0입니다.
그리고 그 값이 iw와 같기 때문에 =ω00입니다.
자동차해는 특별바다는 substitution formula로 자동차해는 시간이 지나도 반복될 뿐이지만 특별바다는 시간이 지날수록 매우 값이 커집니다.
즉, 시스템의 진동수와 외부 input의 진동수가 같을 경우 output의 진폭이 무한히 커지는 현상이 나타나 이를 공명 현상이라고 합니다.
unstable의 대표적인 예입니다.
fig.16
- 결과적으로 특성방정식 해의 실수부가 모두 음수가 아니면 시스템이 안정되지 않는다고 말할 수 없습니다.